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已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示．設△ABC，△A′B′C′的中心分別是O，O′，現(xiàn)將此三棱柱繞直線OO′旋轉，射線OA旋轉所成的角為x弧度（x可以取到任意一個實數），對應的俯視圖的面積為S（x），則函數S（x）的最大值為
8
8
；最小正周期為
π
3
π
3
．
說明：“三棱柱繞直線OO′旋轉”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為正角，順時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為負角．
分析：由題意判斷俯視圖的圖形的形狀，推出最大值時的位置，即可求解結果．
解答：解：由題意可知，正三棱柱的底面三角形的高為
3
，正三角形的邊長為2，
俯視圖是矩形，當此三棱柱繞直線OO′旋轉，在旋轉過程中對應的俯視圖，底面正三角形的邊在俯視圖中為矩形的邊長時，俯視圖的面積最大，令俯視圖的面積為S，則S的最大值為：2×4=8．
因為正三角形的內角均為60°，所以函數S（x）的最小正周期為
π
3

故答案為：8，
π
3
．
點評：本題考查三視圖與直觀圖的關系，解題的關鍵是判斷俯視圖的圖形的形狀，推出最大值時的位置．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1，高為h（h＞2），動點M在側棱BB1上移動．設AM與側面BB1C1C所成的角為θ．
（1）當θ∈[
π
6
，
π
4
]時，求點M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）當θ=
π
6
時，求向量
AM
與
BC
夾角的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a，M為棱A1C1上的動點．
（1）當M在何處時，BC1∥平面MB1A，并證明之；
（2）在（1）下，求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大�。�
（3）求B-AB1M體積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面邊長為8，對角線B1C=10，
（1）若D為AC的中點，求證：AB1∥平面C1BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB1，當λ為何值時，AP∥平面C1BD；
（3）在（1）的條件下，求直線AB1到平面C1BD的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點，AA1=AB=1．
（1）求證：平面AB1D⊥平面B1BCC1；
（2）求證：A1C∥平面AB1D；
（3）求二面角B-AB1-D的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a，P為棱A1B上的動點．
（Ⅰ）試確定A1P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A1P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點C1到面PAC的距離．

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