Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．
（1）當(dāng)a= 時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng) 時(shí)， 恒成立，

故定義域?yàn)镽，

又∵ ，且函數(shù) 在（0，+∞）單調(diào)遞減，

∴ ，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ī仭蓿?]

（2）解：依題意可知，

i）當(dāng)a＞1時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，必須ax2﹣x+1在 上遞增，且ax2﹣x+1＞0對(duì) 恒成立．

故有 ，解得：a≥2；

ii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，同理必須ax2﹣x+1在 上遞減，且ax2﹣x+1＞0對(duì) 恒成立．

故有 ，解得： ．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【解析】（1）當(dāng)a=時(shí)，可判斷出函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不難得出f（x）的值域，（2）對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解出a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的值域和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”．