Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點為F1（﹣ ，0），F(xiàn)2（ ，0），M是橢圓上一點，若 =0，| || |=8．
（1）求橢圓的方程；
（2）點P是橢圓上任意一點，A1、A2分別是橢圓的左、右頂點，直線PA1 ， PA2與直線x= 分別交于E，F(xiàn)兩點，試證：以EF為直徑的圓交x軸于定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可設橢圓的標準方程為： + =1（a＞b＞0），

由 =0，∴ ⊥ ，設| |=m，| |=n．又| || |=8．

∴m2+n2= ，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．

解得：a=3，b=2．

∴橢圓的方程為 =1

（2）

解：由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），設P（x0，y0），則直線PA1的方程為y= （x+3），它與直線x= 的交點的坐標為E ，

直線PA2的方程為：y= （x﹣3），它與直線x= 的交點的坐標為F ．

再設以EF為直徑的圓交x軸于點Q（m，0），則QE⊥QF，

從而kQEkQF=﹣1，即 × × =﹣ ，

即 =﹣ ，又 =9 ．

∴ =1，解得m= ±1．

故以EF為直徑的圓交x軸于定點，該定點的坐標為 ．

【解析】（1）由題意可設橢圓的標準方程為： + =1（a＞b＞0），由 =0，可得 ⊥ ，設| |=m，| |=n．又| || |=8．可得m2+n2= ，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．解出即可得出．（2）由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），設P（x0 ， y0），則直線PA1的方程為y= （x+3），它與直線x= 的交點的坐標為E，直線PA2的方程為：y= （x﹣3），它與直線x= 的交點的坐標為F．再設以EF為直徑的圓交x軸于點Q（m，0），則QE⊥QF，可得kQEkQF=﹣1，又 =9 ．即可得出．