Question

已知A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)λ、m、n使λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

0

，那么λ+m+n的值等于

0

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量共線(xiàn)的條件，存在實(shí)數(shù)k，使得

AB

=k

BC

．由此化簡(jiǎn)得

OA

-（k+1）

OB

+k

OC

=

O

，再與已知等式比較系數(shù)，結(jié)合討論即可得到λ+m+n的值為0．

解答：解：∵A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴存在實(shí)數(shù)k，使得

AB

=k

BC

∵

AB

=

OB

-

OA

，

BC

=

OC

-

OB

∴

OB

-

OA

=k（

OC

-

OB

），化簡(jiǎn)整理得：

OA

-（k+1）

OB

+k

OC

=

O

∵λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

O

，
∴①當(dāng)k=-1時(shí)，比較系數(shù)得：m=0且λ=-n，所以λ+m+n=0
②當(dāng)k≠-1時(shí)，可得

λ

1

=

m

-k-1

=

n

k

，得m=（-k-1）λ，n=kλ
由此可得：λ+m+n=λ+（-k-1）λ+kλ=0
綜上所述，λ+m+n的值為0
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：本題給出三點(diǎn)共線(xiàn)，求向量式中的系數(shù)特征．著重考查了平面向量共線(xiàn)的條件和平面向量的基本定理及其意義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．