Question

已知函數(shù)f(x)=

px-p

-lnx(p＞0)是增函數(shù)．
（I）求實數(shù)p的取值范圍；
（II）設數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

2n+1

n

，前n項和為S，求證：S_n≥2ln（n+1）．

Answer 1

分析：（I）求得函數(shù)的定義域，利用函數(shù)為增函數(shù)，可得導數(shù)大于0，再換元，利用分離參數(shù)法，求函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)p的取值范圍；
（II）先證明

x-1

≥lnx，對x≥1恒成立，從而可得an≥ln

(n+1)2

n2

，再利用對數(shù)的運算性質，即可證得結論．

解答：（I）解：由題意，

px-p≥0 x＞0 p＞0

，∴x≥1，∴函數(shù)f（x）的定義域為[1，+∞），
由函數(shù)f（x）是增函數(shù)，可知f′(x)=

p

2 x-1

-

1

x

≥0對x＞1恒成立，…（3分）   
令t=

x-1

，t＞0，則

p

≥(

2t

t2+1

)max，注意到t²+1≥2t＞0，所以(

2t

t2+1

)max=1，即

p

≥1，
所以p≥1為所求．…（6分）  
（II）證明：由（I）知，f(x)=

x-1

-lnx是增函數(shù)，
所以f（x）≥f（1）=0，即

x-1

≥lnx，對x≥1恒成立．…（8分）
注意到an=

2n+1

n

=

(n+1)2 n2 -1

，所以an≥ln

(n+1)2

n2

．…（10分）
∴

Sn=a1+a2+…+an≥ln 22 12 +ln 32 22 +…+ln (n+1)2 n2

=

ln[ 22 12 •ln 32 22 •…•ln (n+1)2 n2

=ln（n+1）²=2ln（n+1）
即S_n≥2ln（n+1）成立…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調性，考查不等式的證明，考查利用分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，考查學生的計算能力，屬于中檔題．