Question

過(guò)點(diǎn)M（1，1）作直線與拋物線x²=2y交于A、B兩點(diǎn)，該拋物線在A、B兩點(diǎn)處的兩條切線交于點(diǎn)P．
（I）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）求△ABP的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出過(guò)點(diǎn)M（1，1）的直線y=k（x-1）+1與拋物線x²=2y聯(lián)立，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線斜率，將兩條直線聯(lián)立的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合韋達(dá)定理消參即可
（II）將△ABP的邊|AB|和點(diǎn)P到直線AB的距離用斜率K表示，利用三角形面積公式，即可計(jì)算求△ABP的面積的最小值
解答：解：（I）設(shè)直線AB方程為由y=k（x-1）+1，
代入x²=2y，得x²-2kx+2k-2=0

則切線PA的方程為．①
同理，切線PB的方程為．②
由①、②兩式得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
于是P（k，k-1），即點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程為
消去參數(shù)k，得點(diǎn)P的軌跡方程為x-y-1=0．
（II）由（I）知
點(diǎn)P到直線AB的距離，
△ABC的面積．
當(dāng)k=1時(shí)，S有最小值1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，特別要注意韋達(dá)定理，設(shè)而不求解題思想的運(yùn)用