Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在點處的切線的斜率為，證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）由已知條件求得，可得，由得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上的最小值，由此可證得結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，

.

，令得或.

①當(dāng)時，即當(dāng)時，

令，得；令，得或.

此時，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；

②當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，，

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

③當(dāng)時，即當(dāng)時.

令，得；令，得或.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；

（2）由已知條件得，解得，

所以，，

要證即證，

令，其中，

則，令，其中，

當(dāng)時，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即.

因此，對任意的，.