已知橢圓Γ的方程為，點P的坐標為(-a，b)，
(Ⅰ)若直角坐標平面上的點M、A(0，-b)、B(a，0)滿足，求點M的坐標；
(Ⅱ)設直線l1：y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l2：y=k2x于點E。若k1·k2=，證明：E為CD的中點；
(Ⅲ)對于橢圓Γ上的點Q(acosθ，bsinθ)(0＜θ＜π)，如果橢圓Γ上存在不同的兩點P1、P2使得
，寫出求作點P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍。
(Ⅰ)解：設點M的坐標為(x0，y0)，
∵，
∴，
于是，點M的坐標為。
(Ⅱ)證明：由得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0，
∴CD中點坐標為，
∵，
∴，
由得l1與l2的交點E的坐標為，
∴l(xiāng)1與l2的交點E為CD的中點．
(Ⅲ)解：第一步：取PQ的中點；
第二步：過點R作斜率為的直線交Γ于P1、P2兩點，
由(Ⅱ)可知，R是P1P2的中點，則PP1QP2是平行四邊形，
有，要使P1、P2存在，則點必須在橢圓內，
將代入橢圓Γ的方程，得，
當且僅當時，點R在橢圓內，
整理得(1+sinθ)2+(cosθ-1)2＜4，即2sinθ-2cosθ＜1，
亦即，
又0＜θ＜π，
∴。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），B是它的下頂點，F(xiàn)是其右焦點，BF的延長線與橢圓及其右準線分別交于P、Q兩點，若點P恰好是BQ的中點，則此橢圓的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點A、B分別為其左、右頂點，點F1、F2分別為其左、右焦點，以點A為圓心，AF1為半徑作圓A；以點B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線l： y=-
3
3
x被圓A和圓B截得的弦長之比為
15
6
；
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問是否存在點P，使得過P點有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為
3
4
；若存在，請求出所有的P點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
2
=1 (a＞0)，其焦點在x軸上，離心率e=
2
2
．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：x02+2
y
2
0
為定值．
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A、B，且滿足|OA|2+|OB|2＞|AB|2，（其中O為原點），求l斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點），求k的范圍．
（3）試根據(jù)軌跡C2和直線l，設計一個與x軸上某點有關的三角形形狀問題，并予以解答（本題將根據(jù)所設計的問題思維層次評分）．

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