【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)，，且，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的值.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，求出該函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)能求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與減區(qū)間；

（2）由題意知，方程有唯一實(shí)數(shù)解，由參變量分離法得知方程有唯一解（其中），構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出正實(shí)數(shù)的值.

（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，

.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）當(dāng)，時(shí)，，

由于，由題意知，方程有唯一實(shí)數(shù)解，則方程有唯一解，

構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得.

因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上為減函數(shù) ，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

所以，函數(shù)的極小值為，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：

，則，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，因此，.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn).該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示.

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）

某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作。規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過。已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響。

（Ⅰ）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)且，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2021年福建省高考實(shí)行“”模式.“”模式是指：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學(xué)業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理4個(gè)科目中選擇2科，共計(jì)6個(gè)考試科目.

（1）若學(xué)生甲在“1”中選物理，在“2”中任選2科，求學(xué)生甲選化學(xué)和生物的概率；

（2）若學(xué)生乙在“1”中任選1科，在“2”中任選2科，求學(xué)生乙不選政治但選生物的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】全民健身倡導(dǎo)全民做到每天參加一次以上的體育健身活動(dòng)，旨在全面提高國民體質(zhì)和健康水平.某部門在該市2013-2018年發(fā)布的全民健身指數(shù)中，對(duì)其中的“運(yùn)動(dòng)參與評(píng)分值”（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制成如圖所示的散點(diǎn)圖.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，建立關(guān)于的回歸方程；

（2）從該市的市民中隨機(jī)抽取了容量為150的樣本，其中經(jīng)常參加體育鍛煉的人數(shù)為50，以頻率為概率，若從這150名市民中隨機(jī)抽取4人，記其中“經(jīng)常參加體育鍛煉”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，，為中點(diǎn)，底面是直角梯形，，，，.

（1）求證：平面；

（2）設(shè)為棱上一點(diǎn)，，試確定的值使得二面角為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求直線的斜率的取值范圍.

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【題目】如圖，已知橢圓，過動(dòng)點(diǎn)M（0，m）的直線交x軸于點(diǎn)N，交橢圓C于A，P（其中P在第一象限，N在橢圓內(nèi)），且M是線段PN的中點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，延長QM交C于點(diǎn)B，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2．

（1）當(dāng)時(shí)，求k2的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線AB斜率的最小值．

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