【題目】已知:函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x,y都有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)求f(x)的解析式.
(3)已知a∈R,設(shè)P:當(dāng)0<x< 時,不等式f(x)+3<2x+a恒成立;Q:當(dāng)x∈[﹣2,2]時,g(x)=f(x)﹣ax是單調(diào)函數(shù).如果滿足P成立的a的集合記為A,滿足Q成立的a的集合記為B,求A∩RB(R為全集).

【答案】
(1)解:令x=﹣1,y=1,則由已知f(0)﹣f(1)=﹣1×(﹣1+2+1)

∵f(1)=0,∴f(0)=﹣2


(2)解:令y=0,則f(x)﹣f(0)=x(x+1)

又∵f(0)=﹣2,∴f(x)=x2+x﹣2


(3)解:不等式f(x)+3<2x+a,即x2+x﹣2+3<2x+a即x2﹣x+1<a,

當(dāng) 時,

恒成立,故A={a|a≥1},

g(x)=x2+x﹣2﹣ax=x2+(1﹣a)x﹣2

又g(x)在[﹣2,2]上是單調(diào)函數(shù),故有 ,

B={a|a≤﹣3,或a≥5},

ACRB={a|1≤a<5}


【解析】(1)令x=﹣1,y=1,由條件,結(jié)合f(1)=0,即可得到f(0);(2)令y=0,結(jié)合f(0),即可求出f(x)的解析式;(3)化簡不等式f(x)+3<2x+a,得到x2﹣x+1<a,求出左邊的范圍,由恒成立得到a的范圍;由二次函數(shù)的單調(diào)性,即可得到集合B,從而求出A∩RB.

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【題目】已知△ABC的外接圓半徑為1,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA及a的值;
(2)若b2+c2=4,求△ABC的面積.

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【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 為參數(shù)),以原點 為極點,以 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線 的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線 的普通方程與曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)試判斷曲線 是否存在兩個交點,若存在,求出兩交點間的距離;若不存在,說明理由.

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【題目】已知圓錐曲線 是參數(shù))和定點 , F1 , F2 是圓錐曲線的左、右焦點.
(1)求經(jīng)過點 F2 且垂直于直線 AF1 的直線 l 的參數(shù)方程;
(2)設(shè) P 為曲線 C 上的動點,求 P 到直線 l 距離的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的離心率為,四個頂點構(gòu)成的菱形的面積是4,圓過橢圓的上頂點作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(不同于點),直線的斜率分別為.

(1)求橢圓的方程;

(2)當(dāng)變化時,①求的值;②試問直線是否過某個定點?若是,求出該定點;若不是,請說明理由.

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【題目】如圖,矩形和等邊三角形中, ,平面平面

(1)在上找一點,使,并說明理由;

(2)在(1)的條件下,求平面與平面所成銳二面角余弦值.

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【題目】觀察研究某種植物的生長速度與溫度的關(guān)系,經(jīng)過統(tǒng)計,得到生長速度(單位:毫米/月)與月平均氣溫的對比表如下:

溫度

-5

0

6

8

12

15

20

生長速度

2

4

5

6

7

8

10

(1)求生長速度關(guān)于溫度的線性回歸方程;(斜率和截距均保留為三位有效數(shù)字);

(2)利用(1)中的線性回歸方程,分析氣溫從時生長速度的變化情況,如果某月的平均氣溫是時,預(yù)測這月大約能生長多少.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:

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【題目】如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,AD=AE,F(xiàn)是BC的中點,AF與DE交于點G,△ABF沿AF折起,得到如圖2所示的三棱錐A﹣BCF,其中BC=

(1)求證:平面DEG∥平面BCF;
(2)若D,E為AB,AC上的中點,H為BC中點,求異面直線AB與FH所成角的余弦值.

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【題目】函數(shù)f(x)= ln(1﹣x)的定義域是(
A.(﹣1,1)
B.[﹣1,1)
C.[﹣1,1]
D.(﹣1,1]

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