Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線分別相交于異于原點的點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 直線的極坐標(biāo)方程為：.的直角坐標(biāo)方程為. (2)

【解析】

（1）由直線的參數(shù)方程可知，直線過原點且傾斜角直線的為的直線，由此可表示出直線的極坐標(biāo)；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）點的極坐標(biāo)分別為，得到|PQ| ，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍。

解：（1）因為直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），

所以直線表示過原點且傾斜角直線的為的直線，則其極坐標(biāo)方程為：

.

曲線的極坐標(biāo)方程可化為，

即，

因此曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）設(shè)點的極坐標(biāo)分別為，

則

因為，即，所以的取值范圍為.