【題目】設函數(shù)（，）.

（1）當時，在上是單調遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當時，討論函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）對于任意給定的正實數(shù)，證明：存在實數(shù)，使得

【答案】（1）（2）答案不唯一，見解析 （3）證明見解析

【解析】

（1）利用即可求解。

（2）根據(jù)可把解析式化為，然后對函數(shù)求導，由于導函數(shù)中含有參數(shù)，故討論參數(shù)的取值范圍，即可求出單調區(qū)間。

（3）根據(jù)題干只需證明存在，故不妨先證時，，限制，利用不等式中的放縮法即可證出。

解：（1）當時，，

∴

∵在上單調遞增

∴在上恒成立

∴恒成立，則

∴.

（2）∵

∴

∴

∴

①當時，令，得

的單調遞增區(qū)間為

的單調遞減區(qū)間為

②當時，令，得

的單調遞增區(qū)間為

的單調遞減區(qū)間為

③當時，令，

得，

當，即時，，∴在上單調遞增

當，即時，

的單調遞增區(qū)間為和；的單調遞減區(qū)間為

當，即時，的單調遞增區(qū)間為和；的單調遞減區(qū)間為.

（3）易證：時，

限制

∴

∴

此時

令

取，則

故得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在三棱柱中，⊥底面，，，為線段上一點．

（Ⅰ）若，求與所成角的余弦值；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的大�。�

（Ⅲ）若二面角的大小為，求的值．

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調區(qū)間；

（2）證明：（i）；

（ii）對任意，對恒成立．

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【題目】已知為常數(shù)， ，函數(shù)， （其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求證： ；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，求的取值范圍．

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【題目】疫情期間，一同學通過網(wǎng)絡平臺聽網(wǎng)課，在家堅持學習.某天上午安排了四節(jié)網(wǎng)課，分別是數(shù)學，語文，政治，地理，下午安排了三節(jié)，分別是英語，歷史，體育.現(xiàn)在，他準備在上午下午的課程中各任選一節(jié)進行打卡，則選中的兩節(jié)課中至少有一節(jié)文綜學科（政治、歷史、地理）課程的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線與恰有一個公共點.

(Ⅰ)求曲線的極坐標方程；

(Ⅱ)已知曲線上兩點，滿足，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：極坐標與參數(shù)方程

在極坐標系下，已知圓O：和直線

（1）求圓O和直線l的直角坐標方程；

（2）當時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線，過拋物線上點B作切線交y軸于點

（Ⅰ）求拋物線方程和切點的坐標；

（Ⅱ）過點作拋物線的割線，在第一象限內的交點記為，，設為y軸上一點，滿足，為中點，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程是：

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程.

（2）點是曲線上的動點，求點到直線距離的最大值與最小值.

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