Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果x∈D，y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，則稱函數(shù)f（x）為“Ω函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)：
①y=sinx；
②y=2x；
③y= ；
④f（x）=lnx，
則其中“Ω函數(shù)”共有（ ）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：若x∈D，y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，
即等價(jià)為x∈D，y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函數(shù)的定義域?yàn)镽，∵y=sinx是奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）+f（﹣x）=0，∴當(dāng)y=﹣x時(shí)，等式（x）+f（y）=0成立，∴A為“Ω函數(shù)”．
B．∵f（x）=2x＞0，∴2x+2y＞0，則等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函數(shù)”．
C．函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得 ，即 ，
∴x+y﹣2=0，即y=2﹣x，當(dāng)x≠1時(shí)，y≠1，∴當(dāng)y=2﹣x時(shí)，等式（x）+f（y）=0成立，∴C為“Ω函數(shù)”．
D．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即當(dāng)y= 時(shí)，等式（x）+f（y）=0成立，∴D為“Ω函數(shù)”．
綜上滿足條件的函數(shù)是A，C，D，共3個(gè)，
故選：C
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．