【題目】已知函數(shù)f(x)=ex , g(x)=mx2+ax+b,其中m,a,b∈R,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù). (I)函數(shù)h(x)=xf (x),當(dāng)a=l,b=0時,若函數(shù)h(x)與g(x)具有相同的單調(diào)區(qū)間,求m的值;
(II)記F(x)=f(x)﹣g(x).當(dāng)a=2,m=0時,若函數(shù)F(x)在[﹣1,2]上存在兩個不同的零點,求b的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=ex , 函數(shù)h(x)=xf(x), ∴h(x)=xex , ∴h′(x)=ex+xex
∵h(yuǎn)′(x)=ex+xex=0,x=﹣1,
h′(x)=ex+xex>0,x>﹣1,
h′(x)=ex+xex<0,x<﹣1,
∴h(x)=xex , (﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞減,(﹣1,+∞)單調(diào)遞增,x=﹣1時h(x)取極小值,
∵當(dāng)a=1,b=0時g(x)=mx2+ax+b=mx2+x,若函數(shù)h(x)與g(x)具有相同的單調(diào)區(qū)間,
∴﹣ =﹣1,m=
(Ⅱ)當(dāng)m=0,a=2時,F(xiàn)(x)=ex﹣2x﹣b,
∴F′(x)=ex﹣2,
∵F′(x)=ex﹣2=0,x=ln2,
F′(x)=ex﹣2>0,x>ln2
F′(x)=ex﹣2<0,x<ln2,
∴F(x)在(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,
F(x)的最小值為F(ln2)=2﹣2ln2﹣b,
∵函數(shù)F(x)在[﹣1,2]上存在兩個不同的零點,
∴2﹣2ln2﹣b<0,F(xiàn)(﹣1)≥0,F(xiàn)(2)≥0,
解得出:b>2﹣2ln2,b≤ +2,b≤e2﹣4,
即2﹣2ln2<b≤ +2
【解析】(Ⅰ)求解導(dǎo)數(shù)得出:h(x)=xex , (﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞減,(﹣1,+∞)單調(diào)遞增,x=﹣1時h(x)去極小值.(Ⅱ)當(dāng)m=0時,記F(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣ax﹣b,F(xiàn)(x)在(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,F(xiàn)(x)的最小值為F(ln2)=2﹣2ln2﹣b,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出:2﹣2ln2﹣b<0,F(xiàn)(﹣1)≥0,F(xiàn)(2)≥0.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

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