【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,橢圓的離心率為,過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線恒過一定點(diǎn).
【答案】(1)橢圓的方程為 ,拋物線的方程為;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知,結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組可知橢圓的方程為 ,拋物線的方程為.
(2)由題意設(shè)直在x軸的截距方程: ,聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得,結(jié)合斜率公式可得直線的方程為,整理變形即: ,據(jù)此可知直線恒過定點(diǎn).
試題解析:
(1)設(shè)橢圓的半焦距為,依題意,可得,則,
代入,得,即,所以,
則有,
所以橢圓的方程為 ,拋物線的方程為.
(2)依題意,可知直線的斜率不為0,可設(shè),
聯(lián)立 ,得,設(shè),則,
,得或, ,
所以直線的斜率,
可得直線的方程為,
即
,所以當(dāng)或時(shí),直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(rùn)(單位:元)的平均數(shù);
②若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 過點(diǎn), , 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短軸長(zhǎng)為直徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線交橢圓于, ,求內(nèi)切圓面積的最大值和此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中, 平面, , .過的平面交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(l)求證: 平面;
(Ⅱ)求證:四邊形為平行四邊形;
(Ⅲ)若是,求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率;
(Ⅱ)判斷方程(為的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù),說明理由;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形中, ,上底,下底,點(diǎn)為下底的中點(diǎn),現(xiàn)將該梯形中的三角形沿線段折起,形成四棱錐.
(1)在四棱錐中,求證: ;
(2)若平面與平面所成二面角的平面角為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù).
①求最大整數(shù)值;
②證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若為橢圓上任意-點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到直線距離最小時(shí),求點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.
(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;
(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.
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