【題目】已知四棱錐，底面為菱形，，為上的點(diǎn)，過的平面分別交，于點(diǎn)，，且平面.

（1）證明：；

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)，，與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】【試題分析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．根據(jù)菱形有，根據(jù)等腰三角形有，所以以平面，.利用線面平行的性質(zhì)定理有，故，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算平面和平面的法向量來計(jì)算二面角的余弦值.

【試題解析】

（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)?/span>為菱形，所以，且為、的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>且平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，

所以，所以平面，所以與平面所成的角為，

所以，所以，因?yàn)?/span>，所以．

分別以，，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

，

所以．

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記二面角的大小為，則．

所以二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年10月9日，教育部考試中心下發(fā)了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，在各科修訂內(nèi)容中明確提出，增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用.宿州市教育部門積極回應(yīng)，編輯傳統(tǒng)文化教材，在全市范圍內(nèi)開設(shè)書法課，經(jīng)典誦讀等課程.為了了解市民對(duì)開設(shè)傳統(tǒng)文化課的態(tài)度，教育機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了200位市民進(jìn)行了解，發(fā)現(xiàn)支持開展的占，在抽取的男性市民120人中持支持態(tài)度的為80人.

（Ⅰ）完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與支持與否有關(guān)？

（Ⅱ）為了進(jìn)一步征求對(duì)開展傳統(tǒng)文化的意見和建議，從抽取的200位市民中對(duì)不支持的按照分層抽樣的方法抽取5位市民，并從抽取的5人中再隨機(jī)選取2人進(jìn)行座談，求選取的2人恰好為1男1女的概率.

附： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 是橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，試求點(diǎn)到直線的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，其中是自然常數(shù).

(1)判斷函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

(2) ， ，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；

（Ⅱ）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）在（1）的條件下，證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，.

（1）證明：；

（2）設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知A、B、C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓E上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

（1）求橢圓E的方程；

（2）在橢圓E上是否存點(diǎn)Q，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)系有6名大學(xué)生要去甲、乙兩所中學(xué)實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生都被隨機(jī)分配到兩所中學(xué)的其中一所.

（1）求6名大學(xué)生中至少有1名被分配到甲學(xué)校實(shí)習(xí)的概率；

（2）設(shè)，分別表示分配到甲、乙兩所中學(xué)的大學(xué)生人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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