Question

【題目】求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)：對(duì)任意正整數(shù)，.

Answer 1

【答案】所求的為.

【解析】

對(duì)正整數(shù)，設(shè)為正整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解中素因子2的方冪.則，

其中表示正整數(shù)在二進(jìn)制表示下的數(shù)碼之和,原命題等價(jià)于求所有正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，有.再證明所有符號(hào)條件的為.

對(duì)正整數(shù)，設(shè)為正整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解中素因子2的方冪.則

， ①

其中，表示正整數(shù)在二進(jìn)制表示下的數(shù)碼之和.

由

.

進(jìn)而，由式①知本題等價(jià)于求所有正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，有.

接下來(lái)證明：所有符號(hào)條件的為.

一方面，因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，有，所以，符合條件.

另一方面，若不為2的方冪，設(shè)（，為大于1的奇數(shù)）.

下面構(gòu)造一個(gè)正整數(shù)，使得.

因?yàn)?/span>，所以，問(wèn)題等價(jià)于選取的一個(gè)倍數(shù)，使得.

由，知存在正整數(shù)，使得.

事實(shí)上，由歐拉定理，知可以取.

設(shè)奇數(shù)的二進(jìn)制表示為，其中，，.

取.

則，且.

故

. ②

由于，故正整數(shù)的二進(jìn)制表示中的最高次冪小于.

由此，對(duì)任意整數(shù)、，數(shù)與的二進(jìn)制表示中沒(méi)有相同的項(xiàng).

又，則的二進(jìn)制表示中均不包含1.

故由式②知

.

因此，上述選取的滿(mǎn)足要求.

綜上，所求的為.