【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 若 (n∈N*),則稱{an}是“緊密數(shù)列”;
(1)若a1=1, ,a3=x,a4=4,求x的取值范圍;
(2)若{an}為等差數(shù)列,首項a1 , 公差d,且0<d≤a1 , 判斷{an}是否為“緊密數(shù)列”;
(3)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,若數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”,求q的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意, ,∴2≤x≤3,

∴x的取值范圍是[2,3];


(2)解:由題意,an=a1+(n﹣1)d,∴ ,

隨著n的增大而減小,所以當n=1時, 取得最大值,∴ ≤2,

∴{an}是“緊密數(shù)列”;


(3)解:由題意得,等比數(shù)列{an}的公比q

當q≠1時,所以an=a1qn1,Sn= ,

因為數(shù)列{an}與{Sn}都是“緊密數(shù)列”,所以 , ,解得 ,

當q=1時,an=a1,Sn=na1,則 =1, ,符合題意,

∴q的取值范圍是


【解析】(1)由題意, ,即可求出x的取值范圍;(2)由題意,an=a1+(n﹣1)d, ,根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義即可證明結(jié)論;(3)先設(shè)公比是q并判斷出q≠1,由等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式化簡 ,根據(jù)“緊密數(shù)列”的定義列出不等式組,再求出公比q的取值范圍.

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