Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC1中點，CC1=8．
（1）求證：平面AB1M⊥平面A1ABB1；
（2）求平面AB1M與平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結A1B，交AB1于點P，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形ABB1A1是矩形，∴P是A1B的中點，

取AB的中點N，連結CN，PN，MP，

則NP∥CM，且NP=CM，∴四邊形MCNP是平行四邊形，

∴CN∥MP，

又AC=BC，∴CN⊥AB，

∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥CN，

又AA1∥CC1，∴CN⊥AA1，

∴CN⊥平面A1ABB1，∴MP⊥平面A1ABB1，

∵MP平面AB1M，∴平面AB1M⊥平面A1ABB1．

（2）解：以N為原點，NA為x軸，CN為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標系，

∵AC=BC=5，AB=6，M是CC1中點，CC1=8，

∴A（3，0，0），M（0，﹣4，4），B1（﹣3，0，8），

=（﹣3，﹣4，4）， =（﹣6，0，8），

設平面AB1M的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=4，得 =（4，0，3），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

設平面AB1M與平面ABC所成二面角的平面角為θ，

則cosθ= = ，sinθ= = ．

∴平面AB1M與平面ABC所成二面角的正弦值為 ．

【解析】（1）連結A1B，交AB1于點P，取AB的中點N，連結CN，PN，MP，推導出四邊形MCNP是平行四邊形，從而CN∥MP，進而CC1⊥CN，由AA1∥CC1 ， 知CN⊥AA1 ， 從而CN⊥平面A1ABB1 ， 進而MP⊥平面A1ABB1 ， 由此能證明平面AB1M⊥平面A1ABB1 ． （2）以N為原點，NA為x軸，CN為y軸，NP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面AB1M與平面ABC所成二面角的正弦值．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．