Question

給出以下命題
（1）x∈(0，

π

2

)時，函數(shù)y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關于A（1，0）對稱；
（3）“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列的充分不必要條件；
（4）若函數(shù)f（x）=log₃（-x²+2mx-m²+36）在區(qū)間[-3，2）上是減函數(shù)，則m≤-3；
其中正確命題的序號是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：（1）根據x∈(0，

π

2

)，可得0＜x＜1，求函數(shù)y=sinx+

2

sinx

的最小值，不能用基本不等式；（2）根據f（x）是奇函數(shù)，可得f（x）的圖象關于（0，0）對稱，由于f（x-1）的圖象是由f（x）的圖象向右平移一個單位，f（x-1）的圖象關于A（1，0）對稱；（3）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為q，則

an+1

an

=q，，從而可得數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列；若數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列，則

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

，故數(shù)列{a_n}不一定為等比數(shù)列；（4）若函數(shù)f（x）=log₃（-x²+2mx-m²+36）在區(qū)間[-3，2）上是減函數(shù)，則函數(shù)g（x）=-x²+2mx-m²+36在區(qū)間[-3，2）上是減函數(shù)，且g（x）＞0，故-4＜m≤-3，從而可得結論．

解答：解：（1）∵x∈(0，

π

2

)，∴0＜x＜1，∴函數(shù)y=sinx+

2

sinx

取不到最小值2

2

，故（1）錯誤；
（2）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）的圖象關于（0，0）對稱，∵f（x-1）的圖象是由f（x）的圖象向右平移一個單位，f（x-1）的圖象關于A（1，0）對稱，故（2）正確；
（3）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為q，則

an+1

an

=q，∴

an+1an+2

anan+1

=q2，∴數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列
若數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列，則

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

，∴數(shù)列{a_n}不一定為等比數(shù)列，∴“數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{a_na_n+1}為等比數(shù)列的充分不必要條件，故（3）正確；
（4）若函數(shù)f（x）=log₃（-x²+2mx-m²+36）在區(qū)間[-3，2）上是減函數(shù)，則函數(shù)g（x）=-x²+2mx-m²+36在區(qū)間[-3，2）上是減函數(shù)，且g（x）＞0，∴

- 2m -2 ≤-3 -4+4m-m2+36＞0

，∴-4＜m≤-3，故（4）錯誤；
故答案為：（2）（3）

點評：本題的考點是命題的真假判斷與應用，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)圖象的對稱性，考查等比數(shù)列，考查函數(shù)的單調性，知識點多，需一一判斷．