【題目】已知的兩個頂點為，，平面內(nèi)P，Q同時滿足；；．

求頂點A的軌跡E的方程；

過點作兩條互相垂直的直線，，直線，被點A的軌跡E截得的弦分別為，，設(shè)弦，的中點分別為M，試問：直線MN是否恒過一個頂點？若過定點，請求出該頂點，若不過定點，請說明理由．

【答案】(1)；(2) 直線MN過定點

【解析】

由已知向量等式可知P為三角形ABC的重心，設(shè)，則，再由，知Q是三角形ABC的外心，結(jié)合得

由列式求解頂點A的軌跡E的方程；

設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得M的坐標，同理求得N的坐標，求得MN的斜率，寫出直線方程的點斜式，整理后利用線系方程說明直線MN過定點

解：，為三角形ABC的重心，設(shè)，則，

由，知Q是三角形ABC的外心，在x軸上，

又，

由，得，整理得．

，B，C三點不共線，

頂點A的軌跡方程為；

由知，為A的軌跡E的右焦點，

設(shè)，，

由，得．

則，，

．

由中點坐標公式得，

同理可求得

則當時，．

直線MN的方程為．

即．

直線MN過定點

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內(nèi)切，與圓外切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）過直線上的點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別是，，若直線與軌跡交于，兩點，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線C的方程為．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；

(2)若直線與軸和y軸分別交于A，B兩點，P為曲線C上的動點，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線：，過點的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），直線與曲線分別交于、兩點.

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）求線段的長和的積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖的的值；

（2）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由.

（3）估計居民月用水量的中位數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知平面直角坐標系中兩個定點，，如果對于常數(shù)，在函數(shù)，的圖像上有且只有6個不同的點，使得成立，那么的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在無窮數(shù)列中，是給定的正整數(shù)，，．

（Ⅰ）若，寫出的值；

（Ⅱ）證明：數(shù)列中存在值為的項；

（Ⅲ）證明：若互質(zhì)，則數(shù)列中必有無窮多項為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，點是底面的中心，是線段的上一點。

（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）能否存在點使得平面平面，若能，請指出點的位置關(guān)系，并加以證明；若不能，請說明理由。

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