【題目】(本小題滿分15分)在直三棱柱中,底面是邊長為2的正三角形, 是棱的中點,且.
(1)試在棱上確定一點,使平面;
(2)當(dāng)點在棱中點時,求直線與平面所成角的大小的正弦值。
【答案】(1),(2)
【解析】試題分析:(1)利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,準(zhǔn)的確寫出相關(guān)點的坐標(biāo),從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵;(2)證明線面垂直的方法:一是線面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性質(zhì)定理;(3)直線方向向量與平面的法向量所成銳角(如果求出鈍角減去90°)的余角即直線與平面所成的角; (4)空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識形體特征,建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點:一是正確寫出點、向量的坐標(biāo),準(zhǔn)確運(yùn)算;二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.
試題解析:
(1)取邊中點為
∵底面是邊長為的正三角形,∴
連接,∵是邊的中點
∴,
所以可以建立以為坐標(biāo)原點,為軸,為軸,
為軸如圖所示的坐標(biāo)系 (4分)
則有,,,,
,,,
設(shè),則, ,
若,則有,
∴可得
即當(dāng)時,. (4分)
(2)當(dāng)點在棱中點時:
∴,,設(shè)平面的一個法向量
∴令,得,
∴(4分)
設(shè)直線與平面所成角為,則
所以直線與平面所成角的正弦值為(3分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測,服藥后每毫升血液中的含藥量(微克)與時間(小時)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.
(1)寫出服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)據(jù)進(jìn)一步測定:每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時,治療疾病有效.求服藥一次治療疾病的有效時間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.當(dāng)x1,x2∈[0,2],且x1≠x2時,都有<0,給出下列命題:
①f(2)=0;
②直線x=-4是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[-4,4]上有四個零點;
④f(2 014)=0.
其中所有正確命題的序號為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著手機(jī)的發(fā)展,“微信”越來越成為人們交流的一種方式.某機(jī)構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如下表.
年齡(單位:歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年齡45歲為分界點”,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān);
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
(Ⅱ)若從年齡在[25,35)和[55,65)的被調(diào)查人中按照分層抽樣的方法選取6人進(jìn)行追蹤調(diào)查,并給予其中3人“紅包”獎勵,求3人中至少有1人年齡在[55,65)的概率.
參考數(shù)據(jù)如下:
附臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的觀測值: (其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=x2-2x-3,求f(3),f(-5),f(5),并計算f(3)+f(-5)+f(5)的值.設(shè)計出解決該問題的一個算法,并畫出程框圖.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一塊扇形鐵皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下來一個扇環(huán)形ABCD,作圓臺容器的側(cè)面,并且在余下的扇形OCD內(nèi)能剪下一塊與其相切的圓形使它恰好作圓臺容器的下底面(大底面).試求:
(1)AD應(yīng)取多長?
(2)容器的容積為多大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】滬昆高速鐵路全線2016年12月28日開通運(yùn)營.途經(jīng)鷹潭北站的、兩列列車乘務(wù)組工作人員為了了解乘坐本次列車的乘客每月需求情況,分別在兩個車次各隨機(jī)抽取了100名旅客進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了月乘車次數(shù)的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表.
(1)若將頻率視為概率,月乘車次數(shù)不低于15次的稱之為“老乘客”,試問:哪一車次的“老乘客”較多,簡要說明理由;
(2)已知在次列車隨機(jī)抽到的50歲以上人員有35名,其中有10名是“老乘客”,由條件完成列聯(lián)表,并根據(jù)資料判斷,是否有的把握認(rèn)為年齡與乘車次數(shù)有關(guān),說明理由.
老乘客 | 新乘客 | 合計 | |||||||
50歲以上 | |||||||||
50歲以下 | |||||||||
合計 | |||||||||
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |||||
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | |||||
附:隨機(jī)變量(其中為樣本容量)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司有30名男職員和20名女職員,公司進(jìn)行了一次全員參與的職業(yè)能力測試,現(xiàn)隨機(jī)詢問了該公司5名男職員和5名女職員在測試中的成績(滿分為30分),可知這5名男職員的測試成績分別為16,24,18,
22,20,5名女職員的測試成績分別為18,23,23,18,23,則下列說法一定正確的是( )
A. 這種抽樣方法是分層抽樣
B. 這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣
C. 這5名男職員的測試成績的方差大于這5名女職員的測試成績的方差
D. 該測試中公司男職員的測試成績的平均數(shù)小于女職員的測試成績的平均數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示是某企業(yè)2010年至2016年污水凈化量(單位: 噸)的折線圖.
注: 年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2010-2016.
(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合和的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立關(guān)于的回歸方程,預(yù)測年該企業(yè)污水凈化量;
(3)請用數(shù)據(jù)說明回歸方程預(yù)報的效果.
附注: 參考數(shù)據(jù):;
參考公式:相關(guān)系數(shù),回歸方程中斜率和截距的最。
二乘法估汁公式分別為;
反映回歸效果的公式為:,其中越接近于,表示回歸的效果越好.
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