【題目】已知函數(shù)(其中)在點(diǎn)處的切線斜率為1.
(1)用表示;
(2)設(shè),若對定義域內(nèi)的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的前提下,如果,證明: .
【答案】(1);(2);(III)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)由題意即得;
(2)在定義域上恒成立,即,由恒成立,得,再證當(dāng)時(shí), 即可;
(3)由(2)知,且在單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),不妨設(shè),要證明,等價(jià)于,需要證明,令,可證得在上單調(diào)遞增, 即可證得.
試題解析:
(1),由題意
(2)在定義域上恒成立,即。
解法一: 恒成立,則。
當(dāng)時(shí), ,
令得(注意)
所以時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增。
所以,符合題意。
綜上所述, 對定義域內(nèi)的恒成立時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是。
解法二:(分離變量)恒成立,分離變量可得
對恒成立,
令,則。
這里先證明,記,則,
易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, ,所以。
因此, ,且時(shí),
所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是。
(3)由(2)知,且在單調(diào)遞減;在單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),不妨設(shè),要證明,等價(jià)于,
只需要證明,這里,
令
,求導(dǎo)得
.
注意當(dāng)時(shí), , ,(可由基本不等式推出)又
因此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。
所以在上單調(diào)遞增, ,也即,
因此,此時(shí)都在單調(diào)遞增區(qū)間上,
所以,得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形為等腰梯形, , 沿對角線將旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)至點(diǎn)的位置,此時(shí)滿足.
(1)判斷的形狀,并證明;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)時(shí),求在上的單調(diào)區(qū)間;
(2)且, 均恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>,即,若,則稱在上封閉.
(1)分別判斷函數(shù), 在上是否封閉,說明理由;
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且存在反函數(shù),若函數(shù)在上封閉,且函數(shù)在上也封閉,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對任意,若,有恒成立,則稱在上是單射,已知函數(shù)在上封閉且單射,并且滿足 ,其中(),,證明:存在的真子集,
,使得在所有()上封閉.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是邊長為的正方形,平面,,,與平面所成角為.
(Ⅰ)求證:平面.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).
(1)若具有性質(zhì),且, ,求;
(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, , , 判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;
(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證:“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右有頂點(diǎn)分別是、,上頂點(diǎn)是,圓:的圓心到直線的距離是,且橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)平行于軸的動(dòng)直線與橢圓和圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別為、,直線、與軸的交點(diǎn)記為,.試判斷是否為定值,若是,證明你的結(jié)論.若不是,舉反例說明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(限定).
(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并求與交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)射線與曲線與分別交于點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.
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