【題目】本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.

從數(shù)列中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列,稱之為數(shù)列的一個子數(shù)列.

設數(shù)列是一個首項為、公差為的無窮等差數(shù)列.

1)若,,成等比數(shù)列,求其公比

2)若,從數(shù)列中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項,試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列,請說明理由.

3)若,從數(shù)列中取出第1項、第項(設)作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項,試問當且僅當為何值時,該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列,請說明理由.

【答案】

【解析】

1)由題設,得,即,得,又,于是,故其公比.(4分)

2)設等比數(shù)列為,其公比,,(6分)

由題設

假設數(shù)列的無窮等比子數(shù)列,則對任意自然數(shù),都存在,使,

,得,(8分)

時,,與假設矛盾,

故該數(shù)列不為的無窮等比子數(shù)列.(10分)

3的無窮等比子數(shù)列為,其公比),得

由題設,在等差數(shù)列中,,,

因為數(shù)列的無窮等比子數(shù)列,所以對任意自然數(shù),都存在,使,

,得

由于上式對任意大于等于的正整數(shù)都成立,且均為正整數(shù),

可知必為正整數(shù),又,故是大于1的正整數(shù).(14分)

再證明:若是大于1的正整數(shù),則數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列.

即證明無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項.

在等比數(shù)列中,,

在等差數(shù)列中,,,

為數(shù)列中的第項,則由,得,整理得,

,均為正整數(shù),得也為正整數(shù),

故無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項,得證.

綜上,當且僅當是大于1的正整數(shù)時,數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列.(18分)

練習冊系列答案
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1)求證:平面

2)求二面角的正弦值;

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【題目】某土特產(chǎn)超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計,得到如下人數(shù)分布表.

購買金額(元)

人數(shù)

10

15

20

15

20

10

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

不少于60

少于60

合計

40

18

合計

2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購買金額不少于60元可抽獎3次,每次中獎概率為(每次抽獎互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率),中獎1次減5元,中獎2次減10元,中獎3次減15.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn),請列出實際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學期望.

附:參考公式和數(shù)據(jù):.

附表:

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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【題目】在棱長為2的正方體中,點是對角線上的點(點不重合),則下列結(jié)論正確的個數(shù)為(

①存在點,使得平面平面;

②存在點,使得平面

③若的面積為,則;

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點,使得.

A.1B.2C.3D.4

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1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;

2)若數(shù)列中任意連續(xù)三項能構(gòu)成三角形的三邊,求的取值范圍;

3)求證:對任意是常數(shù),并求數(shù)列的通項公式.

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【題目】在一個半圓中有兩個互切的內(nèi)切半圓,由三個半圓弧圍成曲邊三角形,作兩個內(nèi)切半圓的公切線把曲邊三角形分隔成兩塊,阿基米德發(fā)現(xiàn)被分隔的這兩塊的內(nèi)切圓是同樣大小的,由于其形狀很像皮匠用來切割皮料的刀子,他稱此為“皮匠刀定理”,如圖,若,則陰影部分與最大半圓的面積比為(

A.B.

C.D.

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2)試確定點的位置,使平面與平面所成的銳二面角為

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