Question

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

已知數(shù)列{}和{}滿足：對于任何，有，為非零常數(shù)），且．

（1）求數(shù)列{}和{}的通項(xiàng)公式；

（2）若是與的等差中項(xiàng)，試求的值，并研究：對任意的，是否一定能是數(shù)列{}中某兩項(xiàng)（不同于）的等差中項(xiàng)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）【解一】由得，

．

又，，．

所以，{}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，．…………………………….5分

由，得

所以，當(dāng)時，……………………………………………….6分

上式對顯然成立．………………………………………………………………………..1分

【解二】猜測，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 …………………………………………….5分

的求法如【解一】  ………………………………………………………………………..7分

【解三】猜測，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 ………………………….7分

  …………………………………………………………………..5分

（2）當(dāng)時，不是與的等差中項(xiàng)，不合題意；……………………………….1分

當(dāng)時，由得，

由得（可解得）..…………………………………………2分

對任意的，是與的等差中項(xiàng)． .………………………………….2分

證明：，

，                     .………………………………….3分

即，對任意的，是與的等差中項(xiàng)．