Question

【題目】已知空間幾何體中， 與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， 為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，平面平面，平面平面．

（1）試在平面內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行，并給出詳細(xì)證明；

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，則根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，由面面垂直性質(zhì)定理得平面，同理可得平面，即得，由三角形中位線性質(zhì)得，因此可得面面平行，即得結(jié)論，（2）取中點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，再根據(jù)錐體體積公式求體積.

試題解析：（1）如圖所示，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則即為所求．

證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，

∵為腰長(zhǎng)為的等腰三角形， 為中點(diǎn)，

∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

同理，可證平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

又， 分別為， 中點(diǎn)，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，∴平面．

（2）連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，

由（1）可知平面，

所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等．

又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，∴平面，

∴，又為中點(diǎn)，∴，

又， ，∴．

∴ ．

點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.