Question

【題目】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，橢圓的離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，連接、，若的內(nèi)切圓面積為，則求直線方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或或或．

【解析】

（1）面積最大值為，由離心率，結(jié)合，即可求出橢圓方程；

（2）設(shè)，由已知可得內(nèi)切圓的半徑，以及周長，求出的面積，且等于，求出，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，即可求解.

解：（1）當(dāng)為上下頂點(diǎn)時，的面積最大，

所以．又∵，∴，

解得，，，橢圓方程為．

（2）∵內(nèi)切圓的面積為，∴內(nèi)切圓的半徑為．

∵，∴．

設(shè)，則聯(lián)立直線方程與橢圓方程，

得，

則，，

∴，

∴或，則或．

∴直線方程為或

或或．