Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，， 平面，，，為的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）判斷直線與平面的位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）相交，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意先證明平面，即可得到答案；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)，利用公式即可得到結(jié)果；

（3）求出平面的一個(gè)法向量與向量，根據(jù)與零的關(guān)系，作出判斷.

（1）連結(jié)．

因?yàn)榈酌?/span>是菱形 ，所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以.

又因?yàn)?/span>，

所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

（2）設(shè)，交于點(diǎn).

因?yàn)榈酌?/span>是菱形 ，

所以，

又因?yàn)?/span>平面，

所以，.

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，， ， ，.

則，，

設(shè)異面直線與所成角為，則，

，

所以與所成角的余弦值為.

（3）直線與平面相交.證明如下：

由（2）可知，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則 即 令，得．

則，

所以直線與平面相交．