Question

已知sin²β-2sinα+1=0，α，β∈R，則sin²α+sin²β的取值范圍是

[

1

4

，2]

．

Answer 1

分析：將sin²α+sin²β消去β，得出sin²α+sin²β=sin²α+2sinα-1=（sinα+1）²-2，由已知，sin²β=2sinα-1∈[0，1]，得出sinα∈[

1

2

，1]，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解．

解答：解：由已知，sin²β=2sinα-1∈[0，1]，∴sinα∈[

1

2

，1]
∴sin²α+sin²β=sin²α+2sinα-1=（sinα+1）²-2，
當(dāng)時，取得最小值為

9

4

-2=

1

4

，當(dāng)時取得最大值為2
sin²α+sin²β的取值范圍是[

1

4

，2]
故答案為：[

1

4

，2]

點評：本題考查三角函數(shù)式的化簡與求值，要注意減少角的種類和三角函數(shù)名稱．本題關(guān)鍵是將sin²α+sin²β 化為關(guān)于sinα的二次函數(shù)，易錯點在于sinα應(yīng)有sinα∈[

1

2

，1]，而非sinα∈[-1，1]．