Question

已知函數y=x²+(2m+1)x+m²-1(m∈R).

(1)m為何值時，y的極小值是0？

(2）求證：不論m是什么數值，函數的圖象（即拋物線）的頂點都在同一條直線l₁上.

(3)平行于l₁的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于l₁而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等.

Answer 1

（1）解析:用配方法得，

∴y的極小值為.

由-=0，得m=-,

即當m=-時，y的極小值是0.

(2)證明:函數圖象拋物線的頂點坐標為

(-，-),

即 (x、y為頂點的兩坐標).

兩式相減得x-y=，此為各拋物線頂點坐標所滿足的方程，它的圖形是一條直線.方程中不含m，因此，不論m是什么數值,拋物線的頂點都在這條直線l₁:x-y=上.

(3)證明:設l:x-y=a為任一條平行于l₁的直線,由，

消去y，得x²+2mx+m²-1+a=0，?

即(x+m)²=1-a.?

當1-a≥0，即a≤1時，直線l與拋物線相交，而1-a＜0，即a＞1時，直線l與拋物線不相交.

若a≤1，則x=-m±,

即x₁=-m-，x₂=-m+.

∴x₂-x₁=2.

直線l被拋物線截得的線段AB的長為｜AB｜=｜x₂-x₁｜=·2=

2與m無關.

因而直線l被各拋物線截得的線段都相等.