Question

已知一元二次方程：（1）mx²-4x+4=0；（2）x²-4mx+4m²-4m-5=0（m∈Z），求方程（1）和（2）的根都是整數(shù)的充要條件．

Answer 1

方程（1）有實(shí)根?△₁=16-16m≥0，即m≤1；
方程（2）有實(shí)根?△₂=16m²-4(4m2-4m-5)≥0?m≥-

5

4

，
由-

5

4

≤m≤1且m∈Z得m=-1，0，1．
當(dāng)m=-1時(shí)，方程（1）為x²+4x-4=0，無整數(shù)解；
當(dāng)m=0 時(shí)，方程（2）為x²=5，無整數(shù)解；
當(dāng)m=1時(shí)，方程（1）有整數(shù)解x=2，方程（2）有整數(shù)解x=-1或5，
從而（1）、（2）都有整數(shù)解?m=1．
反過來，由m=1，可推得方程（1）、（2）都有整數(shù)解，
所以方程（1）、（2）都有整數(shù)解的充要條件是m=1．