Question

（理）已知橢圓C：（a＞0，b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)P 是橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足那么|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直線(xiàn)PF₁的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng)，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：如圖，點(diǎn)P在橢圓上，由題意知△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．作出底邊上的高F₂D，可得Rt△DF₁F₂中，|DF₁|=a-c，|DF₂|=2b，|F₁F₂|=2c，利用勾股定理列式，化簡(jiǎn)整理即可得到a與c的比值，結(jié)合橢圓離心率的公式，可得橢圓C的離心率．
解答：∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c
過(guò)點(diǎn)F₂作F₂D⊥PF₁于D點(diǎn)，則F₂到直線(xiàn)PF₁的距離為|DF₂|=2b，
因?yàn)閨PF₂|=|F₁F₂|，可得D是PF₁的中點(diǎn)，所以DF₁=|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，即（a-c）²+（2b）²=（2c）²
整理得：5a²-2ac-7c²=0，即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不為0，∴5a-7c=0，得c=a
因此橢圓C的離心率為e==
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成以焦距為一腰的等腰三角形，并且等腰三角形的高等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，屬于基礎(chǔ)題．