Question

、設(shè)函數(shù)，，其中|t|≤1，將f(x)的最小值記為g(t)．   

 (1)求g(t)的表達(dá)式；     

 (2)對(duì)于區(qū)間[－1，1]中的某個(gè)t，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出這樣的a及其對(duì)應(yīng)的t；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

(1) g(t)＝4t³－3t＋3．

 (2)當(dāng)t＝－1或時(shí)，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當(dāng)t∈(－1，1]且t≠時(shí)，這樣的a不存在.

【解析】該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)的最值，還考查了三角函數(shù)的公式的利用，以及恒成立問(wèn)題．

（1）利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換公式化簡(jiǎn)f（x），在用配方法得出函數(shù)的最簡(jiǎn)式，即可得出函數(shù)g（x）的表達(dá)式

（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，畫(huà)出表格判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，g（t）≤ 

成立，即≥g（t）的最大值，求出a的范圍．

解析：(1)

         ．

由(sinx－t)²≥0，|t|≤1，故當(dāng)sinx＝t時(shí)，f(x)有最小值g(t)，即g(t)＝4t³－3t＋3．

 (2)我們有．

列表如下：

t	(－1，－)	－	(－， )		(，1)
g'(t)	＋	0	－	0	＋
G(t)	↗	極大值g(－)	↘	極小值g()	↗

由此可見(jiàn)，g(t)在區(qū)間(－1，－)和(，1)單調(diào)增加，在區(qū)間(－，)單調(diào)減小，極小值為g()

＝2，又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2     故g(t)在[－1，1]上的最小值為2

注意到：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，＝∈[－2，2]當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，＝2，對(duì)應(yīng)的t＝－1

或，故當(dāng)t＝－1或時(shí)，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當(dāng)t∈(－1，1]且t≠時(shí)，這樣的a不存在.