【題目】如圖，已知P（x0 ， y0）是橢圓C： =1上一點，過原點的斜率分別為k1 ， k2的兩條直線與圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 均相切，且交橢圓于A，B兩點．

（1）求證：k1k2=﹣ ；
（2）求|OA||OB|得最大值．

【答案】
（1）

證明：由圓P與直線OA：y=k1x相切，

可得 = ，

即（4﹣5x02）k12+10x0y0k1+4﹣5y02=0，

同理，（4﹣5x02）k22+10x0y0k2+4﹣5y02=0，

即有k1，k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的兩根，

可得k1k2= = =﹣


（2）

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立 ，

解得x12= ，y12= ，

同理，x22= ，y22= ，

（|OA||OB|）2=（ + ）（ + ），

∴|OA||OB|=2

=2 ≤

當且僅當k1=± 時，取等號，

可得|OA||OB|的最大值為


【解析】（1）推導(dǎo)出k1 ， k2是方程（4﹣5x02）k2+10x0y0k+4﹣5y02=0的兩根，由此能利用韋達定理能求出k1k2為定值；（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立 ，由此利用橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件運用基本不等式能求出|OA||OB|的最大值．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為 x （單位：元， x 0 ）時，銷售量 q(x) （單位：百臺）與 x 的關(guān)系滿足：若 x 不超過 20 ， 則 ；若 x 大于或等于180 ，則銷售量為零；當 20 ≤ x ≤180 時，（ a ， b 為實常數(shù)）．

（Ⅰ）求函數(shù) q(x) 的表達式；

（Ⅱ）當 x 為多少時，總利潤（單位：元）取得最大值，并求出該最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片.

（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;

（2）表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.

（注：若三個數(shù)滿足，則稱為這三個數(shù)的中位數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|xex+1|，關(guān)于x的方程f2（x）+2sinαf（x）+cosα=0有四個不等實根，sinα﹣cosα≥λ恒成立，則實數(shù)λ的最大值為（ ）
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.﹣1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某校矩形的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1：3，且成績分布在范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在80以上（含80）的同學獲獎，按文理科用分層抽樣的放發(fā)抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過95%的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”；

(Ⅱ)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從參賽學生中，任意抽取3名學生，記“獲獎”學生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.

附表及公式：，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合為下述條件的函數(shù)的集合：①定義域為；②對任意實數(shù)，都有．

（1）判斷函數(shù)是否為中元素，并說明理由；

（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，證明：；

（3）設(shè)和都是中的元素，求證：也是中的元素，并舉例說明，不一定是中的元素．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點滿足，，且點的坐標為.

（1）求過點的直線的方程；

（2）試用數(shù)學歸納法證明：對于，點都在（1）中的直線上.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣kx2（k∈R）有四個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A.k＜0
B.k＜1
C.0＜k＜1
D.k＞1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直棱柱ABC-中，D，E分別是AB，BB1的中點，=AC=CB=AB.

（Ⅰ）證明：//平面；

（Ⅱ）求二面角D--E的正弦值.

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