Question

【題目】設(shè) 個(gè)正數(shù) 滿(mǎn)足 （ 且 ）．
（1）當(dāng) 時(shí)，證明： ；
（2）當(dāng) 時(shí)，不等式 也成立，請(qǐng)你將其推廣到 （ 且 ）個(gè)正數(shù) 的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：因?yàn)? （ 且 ）均為正實(shí)數(shù)，

左—右=

=0，

所以，原不等式 成立

（2）

歸納的不等式為：

（ 且 ）．

記 ，

當(dāng) （ ）時(shí)，由（1）知，不等式成立；

假設(shè)當(dāng) （ 且 ）時(shí)，不等式成立，即

．

則當(dāng) 時(shí)，

=

=

= ，

因?yàn)? ， ， ，

所以 ，

所以當(dāng) ，不等式成立．

綜上所述，不等式 （ 且 ）成立．

【解析】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)（1）由于 與 積為 ，所以利用基本不等式進(jìn)行證明： ， ， ，三式相加得 ，即 （2）本題結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，易于歸納出 ，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)的難點(diǎn)在于明確 時(shí)式子與 式子關(guān)系：其差為 ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 ，這可利用作差，因式分解得證.