Question

【題目】如圖，扇形OAB的半徑為1，圓心角為120°，四邊形PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，當(dāng)其面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的位置，并求此最大面積．

Answer 1

【答案】解：設(shè)SP中點(diǎn)為C，PQ中點(diǎn)為D，如圖所示；

設(shè)∠COP=θ，則CP=1×sinθ=sinθ，
CO=cosθ，
DQ=CP=sinθ，
又∠DOQ= ，
∴OD= ，
∴CD=OC﹣OD=cosθ﹣ ，
∴S四邊形PQRS=CD×SP
=（cosθ﹣ ）2sinθ
=sin2θ﹣
=sinθ﹣
=sin2θ+ cos2θ﹣
= sin（2θ+ ）﹣ ，
當(dāng)θ= 時(shí)，四邊形SPQR取得最大值為
Smax= ，
此時(shí)點(diǎn)P在弧AB的四等分點(diǎn)處
【解析】根據(jù)題意，設(shè)SP中點(diǎn)為C，PQ中點(diǎn)為D，∠COP=θ，表示出四邊形SPRS的面積，再利用三角恒等變換求出它的最大值即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用扇形面積公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握若扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，面積為，則，，．