Question

函數(shù)y=cos²x•sinx，x的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由條件求得 0＜sinx≤1，令t=sinx∈（0，1]，則 y=f（t）=t-t³，f′（t）=1-3t²．令f′（t）=0，解得 t=，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷當(dāng)t=時(shí)，函數(shù) f（t）取得最大值為 f（），運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：∵函數(shù)y=cos²x•sinx=（1-sin²x）sinx=sinx-sin³x，x，
∴0＜sinx≤1．
令t=sinx∈（0，1]，則 y=f（t）=t-t³，f′（t）=1-3t²．
令f′（t）=0，解得 t=．
在（0，）上，f′（t）＞0，故函數(shù)f（t）為增函數(shù)；在（，1]上，f′（t）＜0，故函數(shù)f（t）為減函數(shù)，
故當(dāng)t=時(shí)，函數(shù) f（t）取得最大值為 f（）=-=，
故答案為 ．
點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．