Question

【題目】已知數(shù)列中，，點（）在直線y = x上，

（Ⅰ）計算a2，a3，a4的值；

（Ⅱ）令bn=an+1﹣an﹣1，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}的前n項和，是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）存在λ=2.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點在直線 上，可得，代入計算可得的值；（2）利用，及，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求得數(shù)列的前三項，求得 ，再驗證即可求得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由題意，∵點（n，2an+1﹣an）在直線y=x上，

∴2an+1﹣an=n

∵，∴，

同理，，；

（Ⅱ）證明：∵bn=an+1﹣an﹣1，2an+1﹣an=n

∴bn+1=an+2﹣an+1﹣1=﹣an+1﹣1=（an+1﹣an﹣1）=bn，

∵b1=a2﹣a1﹣1=﹣

∴數(shù)列{bn}是以﹣為首項，為公比的等比數(shù)列；

（Ⅲ）解：存在λ=2，使數(shù)列是等差數(shù)列．

由（Ⅱ）知，，，

∵an+1=n﹣1﹣bn=n﹣1+，∴an=n﹣2+，

∴Sn==

由題意，要使數(shù)列是等差數(shù)列，則

∴2×=﹣λ+，∴λ=2

當(dāng)λ=2時， =，數(shù)列是等差數(shù)列

∴當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時，數(shù)列是等差數(shù)列．