【題目】已知點(diǎn)是圓上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足.

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)設(shè)曲線軸的正半軸,軸的正半軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn),斜率為的動(dòng)直線交曲線兩點(diǎn),其中點(diǎn)在第一象限,求四邊形面積的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)由向量的數(shù)量積的運(yùn)算,可得,化簡得,利用橢圓的定義,即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式,求得

,在利用點(diǎn)到直線的距離公式,求得點(diǎn)到直線的距離 和點(diǎn)到直線的距離為,得出四邊形面積,即可求解.

(1)由題意, ,

.

,

∴點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn),為焦點(diǎn)且長軸長為6的橢圓,

,,∴,,∴.

即點(diǎn)的軌跡的方程為.

(2)由(1)可得.

設(shè)直線的方程為,由點(diǎn)在第一象限,得,

,得

,, ,

點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到直線的距離為,

∴四邊形面積 ,

,∴當(dāng)時(shí),取得最大值.

即四邊形面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P軸于Q,線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N,D為線段BN的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷以OD為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面, 垂直于,為棱上的點(diǎn),,.

(1)若為棱的中點(diǎn),求證://平面;

(2)當(dāng)時(shí),求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;

(3)在第(2)問條件下,設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成的角為,求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)),其中.

1)在區(qū)間上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.

2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,證明:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示的幾何體中,底面為菱形, , 相交于點(diǎn),四邊形為直角梯形, , ,平面底面.

(1)證明:平面平面

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了研究廣大市民對共享單車的使用情況,某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):

每周使用次數(shù)

1

2

3

4

5

6次及以上

4

3

3

7

8

30

6

5

4

4

6

20

合計(jì)

10

8

7

11

14

50

認(rèn)為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎共享單車”.

(1)分別估算男、女“喜歡騎共享單車”的概率;

(2)請完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%把握,認(rèn)為是否“喜歡騎共享單車”與性別有關(guān).

不喜歡騎共享單車

喜歡騎共享單車

合計(jì)

合計(jì)

附表及公式:,其中.

0.15

010

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從拋物線上各點(diǎn)向x軸作垂線,垂線段中點(diǎn)的軌跡為E.

1)求曲線E的方程;

2)若直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),求證:;

3)若點(diǎn)F為曲線E的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與曲線E交于MN兩點(diǎn),直線,分別與曲線E交于C,D兩點(diǎn),設(shè)直線,斜率分別為,求的值.

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【題目】(題文)如圖,長方形材料中,已知,.點(diǎn)為材料內(nèi)部一點(diǎn),,且,. 現(xiàn)要在長方形材料中裁剪出四邊形材料,滿足,點(diǎn)、分別在邊,上.

(1)設(shè),試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù),并指明的取值范圍;

(2)試確定點(diǎn)上的位置,使得四邊形材料的面積最小,并求出其最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線,直線與拋物線交于為拋物線上一點(diǎn).

(1),求

(2)已知點(diǎn),過點(diǎn)作直線分別交曲線,證明:在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,直線始終過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn).

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