Question

已知點(diǎn)A、B、C是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2

3

，0)，BC過(guò)橢圓M的中心，且

CA

•

CB

=0，2|

CA

|=|

CB

|．
（I）求橢圓M的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)M（0，t）且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓M交于兩點(diǎn)E、F，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且|

DE

|=|

DF

|，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2|

CA

|=|

CB

|，|BC|=2|AC|，且BC過(guò)橢圓M的中心O（0，0），知|

OC

|=|

AC

|．由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2

3

，0)，且

CA

•

CB

=0，知∠ACB=90°，C（

3

，

3

），由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M的直線l，與橢圓M交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)；當(dāng)斜率k=0時(shí)，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，則-2＜t＜2；當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)過(guò)M點(diǎn)的直線l：y=kx+t與橢圓方程組成方程組，消去y，可得關(guān)于x的一元二次方程，由判別式△＞0，得不等式①，由x₁+x₂的值可得EF的中點(diǎn)H坐標(biāo)，由|DP→|=|DQ→|，得由|

DE

|=|

DF

|，知DH⊥EF，則k_DH=-

1

k

，這樣得等式②；由①②可得t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）如圖，

∵2|

CA

|=|

CB

|，|BC|=2|AC|，且BC過(guò)橢圓M的中心O（0，0），
∴|

OC

|=|

AC

|．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2

3

，0)，且

CA

•

CB

=0，
∴∠ACB=90°，C（

3

，

3

），
∵a=2

3

，將a=2

3

及C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得

3

12

+

3

b2

=1，∴b²=4，
∴橢圓E的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）如圖，
由題意，知D（0，-2），∵M(jìn)（0，t），
∴1°當(dāng)k=0時(shí)，-2＜t＜2，
 2°當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)l：y=kx+t，則

x2 12 + y2 4 =1 y=kx+t

，消去y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0，
由△＞0，可得t²＜4+12k²，①
設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），且EF的中點(diǎn)為H（x₀，y₀），
則x₀=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，
y0=kx0+t=

t

1+3k2

，
∴H（-

3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

），
由|

DE

|=|

DF

|，∴DH⊥EF，則k_DH=-

1

k

，
∴

t 1+3k2 +2

- 3kt 1+3k2 -0

=-

1

k

，
∴t=1+3k²，②
∴t＞1，將①代入②，得1＜t＜4，∴t的范圍是（1，4）；
綜上，得t∈（-2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓知識(shí)的綜合應(yīng)用，以及向量在解析幾何中的應(yīng)用．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．用數(shù)形結(jié)合的方法比較容易理清思路，解得結(jié)果．