已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求動點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）過橢圓C1的焦點F2作直線l與曲線C2交于A、B兩點，當l的斜率為
1
2
時，直線l1上是否存在點M，使AM⊥BM？若存在，求出M的坐標，若不存在，說明理由．
（Ⅰ）∵e=
3
3
，
∴e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
3
，
∴2a2=3b2
∵直線l：x-y+2=0與圓x2+y2=b2相切，
∴
2
2
=b，b=
2
，b2=2，
∴a2=3．
∴橢圓C1的方程是
x2
3
+
y2
2
=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），所以l1：x=-1，設M（x，y），
∵|MP|=|MF2|，
∴|x-(-1)|=
(x-1)2+y2
化簡得：y2=4x，
∴點M的軌跡C2的方程為y2=4x．
（Ⅲ）∵直線l的方程為x-2y-1=0，代入y2=4x，得y2-8y-4=0．
由韋達定理得y1+y2=8，y1y2=-4，設A(
y21
4
，y1)，B(
y22
4
，y2)，
設直線l1：x=-1上存在點M（-1，m），使得AM⊥BM，則
AM
•
BM
=0，
∴(-1-
y21
4
，m-y1)•(-1-
y22
4
，m-y2)=0，
∴16m2-16m（y1+y2）+4（y12+y22）+y12y22+16y1y2+16=0，
∴m2-8m+16=0，解得m=4，
∴準線上存在點M（-1，4），使AM⊥BM．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點．一動圓過點F2，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ） （�。┣髾E圓C1的方程；
（ⅱ）求動圓圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）在曲線C上有四個不同的點M，N，P，Q，滿足
MF2
與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：x-y+
5
=0與橢圓C1相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直與橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）若A（x1，2），B（x2，y2），C（x0，y0）是C2上不同的點，且AB⊥BC，求實數(shù)y0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，P是橢圓C1上任意一點，設該雙曲線C2：以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線C2在第一象限內(nèi)的任意一點，且c=
a2-b2

（1）設
PF1
•
PF2
的最大值為2c2，求橢圓離心率；
（2）若橢圓離心率e=
1
2
時，是否存在λ，總有∠BAF1=λ∠BF1A成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則（　�。�
A、a2=
13
2
B、a2=3
C、b2=
1
2
D、b2=2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點為P，|PF|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）過點A（-1，0）的直線與橢圓C1相交于M、N兩點，求使
FM
+
FN
=
FR
成立的動點R的軌跡方程．

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