Question

已知點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)C（0，—3），直線PB、PC都是圓的切線（P點(diǎn)不在y軸上）.

（I）求過(guò)點(diǎn)P且焦點(diǎn)在x軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過(guò)點(diǎn)（1，0）作直線與（I）中的拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn)R，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)與常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）     （II）存在定點(diǎn)R（0，0），相應(yīng)的常數(shù)是 

【解析】

試題分析：（I）設(shè)直線PC的方程為：，

由所以PC的方程為  

由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）。

可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為  

（II）設(shè)直線l的方程為，代入拋物線方程并整理得

   11分

當(dāng)時(shí)上式是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的常數(shù)

所以存在定點(diǎn)R（0，0），相應(yīng)的常數(shù)是 

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，通常有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問(wèn)題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個(gè)變量后，將交點(diǎn)問(wèn)題（包括公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、與交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問(wèn)題；二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．