已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在定義域內為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

(2)設,若函數(shù)存在兩個零點,且實數(shù)滿足,問:函數(shù)處的切線能否平行于軸?若能,求出該切線方程;若不能,請說明理由.

 

【答案】

(1);(2)處的切線不能平行于軸.

【解析】

試題分析:(1)函數(shù)在定義域內為增函數(shù),則其導數(shù)恒大于等于0.求導得:

.由得:.要恒成立,只需即可.接下來利用重要不等式可求出的最小值.

由題意,知恒成立,即

(2)本題屬探索性問題.對探索性問題,常用的方法是假設成立,然后利用題設試著去求相關的量.若能求出來,則成立;若無解,則不成立.

在本題中,總的方向如下:首先假設的切線平行于軸,則的極值點,故有.又函數(shù)存在兩個零點,所以,再加上,這樣有4個方程(4個未知數(shù)).接下來就試著求.若能求出,則切線能平行于軸(同時也就求出了該切線方程);若不能求出,則切線不能平行于軸.

試題解析:(1)

由題意,知恒成立,即

,當且僅當時等號成立.

,所以. 

(2)將求導得:.

存在兩個零點,所以.

的切線平行于軸,則.

結合題意,有,

①—②得

所以由④得

所以           ……………………………………⑤

,⑤式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204264654806363/SYS201404120427243448735086_DA.files/image031.png">

,

所以函數(shù)上單調遞增,

因此,,即

也就是,,此式與⑤矛盾.所以處的切線不能平行于軸.

考點:1、函數(shù)的單調性;2、函數(shù)的零點;3、函數(shù)的導數(shù)及其應用.

 

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