Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設n是過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，由題意知，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），假設使成立的直線l存在，當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點且得，由，，知x₁x₂+y₁y₂=0．將y=kx+m代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-8）=0，由韋達定理能夠導出k²=-1，即此時直線l不存在；當l垂直于x軸時，滿足的直線l的方程為x=1或x=-1，由此能夠導出此時直線l不存在．所以使成立的直線l不存在．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，
由題意知
所以，又a²=b²+c²，因此b=2
故橢圓的標準方程為（6分）
（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
假設使成立的直線l存在，
（ⅰ）當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點且得，即m²=k²+1
∵，，
∴
==1+0+0-1=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0
將y=kx+m代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-8）=0
由求根公式可得，
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
因此（1+k²）（2m²-8）-4k²m²+m²（1+2k²）=0
將m²=k²+1代入上式并化簡得k²=-1，
即此時直線l不存在；（10分）
（ⅱ）當l垂直于x軸時，滿足的直線l的方程為x=1或x=-1，
當x=1時，A，B，P的坐標分別為，
∴，∴
當x=-1時，同理可得，矛盾，即此時直線l不存在
綜上可知，使成立的直線l不存在．（14分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)，提高解題能力和解題技巧．