Question

【題目】已知橢圓： 的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．

（Ⅰ）求橢圓的方程與離心率；

（Ⅱ）設(shè)橢圓上不與點(diǎn)重合的兩點(diǎn)， 關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線， 分別交軸于， 兩點(diǎn)．求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長是定值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到方程；（2）先設(shè)， 根據(jù)題意得到， ，設(shè)以為直徑的圓與軸交于點(diǎn)和,

所以，即，再由，即，故.

解析：

（Ⅰ）依題意， .

點(diǎn)在橢圓上．所以．

所以．

所以橢圓的方程為．

離心率．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>， 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以可設(shè)， ，

所以．

直線： ．

當(dāng)時(shí)， ，所以．

直線： ．

當(dāng)時(shí)， ，所以．

設(shè)以為直徑的圓與軸交于點(diǎn)和,（），

所以， ， ，

所以．

因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，

所以，即．

因?yàn)?/span>，即，

所以，所以．

所以， ．所以．

所以以為直徑的圓被軸截得的弦長是定值．