Question

【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），若函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，且f（1）=1，則f（i）=______．

Answer 1

【答案】1

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）為偶函數(shù)，所以f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，再有奇函數(shù)性質(zhì)得周期為4，找出一個(gè)周期的f（i）取值，進(jìn)而求得．

因?yàn)楹瘮?shù)f（x+1）為偶函數(shù)，所以f（x+1）的對(duì)稱(chēng)軸為x=0，

所以f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，所以f（x+1）=f（1-x），

又因?yàn)?/span>f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），

所以f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期為4，

且f（1）=1，f（2）=f（-2）=-f（2），

所以f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，

=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）=1，

故答案為：1．