Question

對(duì)任意實(shí)數(shù)k，圓C：（x-3）²+（y-4）²=13與直線l：kx-y-4k+3=0的位置關(guān)系是（　　）

A．相交

B．相切

C．相離

D．與k取值有關(guān)

Answer 1

分析：解法1：根據(jù)直線l的方程的特點(diǎn)，得出直線l恒過(guò)定點(diǎn)M（4，3），利用兩點(diǎn)間的距離公式求出M到圓心C的距離，由|MC|小于圓的半徑r，得到M在圓C內(nèi)，進(jìn)而得到直線l過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)，故直線l與圓C相交；
解法2：由圓的方程得出圓心坐標(biāo)和半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，把d平方后利用基本不等式求出d的最大值，判斷d的最大值與半徑r的大小，即可得到直線l與圓C的位置關(guān)系．

解答：解法1：由圓C：（x-3）²+（y-4）²=13，得到圓心C坐標(biāo)為（3，4），半徑r=

13

，
∵直線kx-y-4k+3=0恒過(guò)M（4，3），且|MC|=

(3-4)2+(4-3)2

=

2

＜

13

=r，
∴M在圓C內(nèi)，
則直線l與圓C的位置關(guān)系是相交．
解法2：由圓C：（x-3）²+（y-4）²=13，得到圓心C坐標(biāo)為（3，4），半徑r=

13

，
則圓心C到直線kx-y-4k+3=0的距離d=

|k+1|

k2+1

，
∵d²=

(k+1)2

k2+1

=1+

2k

k2+1

≤2，即d≤

2

＜

13

=r，
∴直線l與圓C的位置關(guān)系是相交．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以及恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，直線與圓的位置關(guān)系利用用d與r的大小來(lái)判斷，當(dāng)0≤d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離．其中解法1找出直線l恒過(guò)定點(diǎn)（4，3）是解本題的關(guān)鍵．