Question

已知數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較T_n與的大小，并予以證明.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）由于數(shù)列的遞推式的結(jié)構(gòu)為，在求數(shù)列的通項(xiàng)的時(shí)候可以利用累加法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)其通項(xiàng)結(jié)構(gòu)選擇錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，在比較與的大小時(shí)，一般利用作差法，通過(guò)差的正負(fù)確定與的大小，在確定差的正負(fù)時(shí)，可以利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮來(lái)達(dá)到證明不等式的目的.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
.
又也適合上式，所以.
（2）由（1）得，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9e/a/nlvfy.png" style="vertical-align:middle;" />①，所以②.
由①－②得，，
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/87/5/k8k0o1.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以確定與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與的大小.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；……，
可猜想當(dāng)時(shí)，.
證明如下：當(dāng)時(shí)，
.
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
考點(diǎn)：累加法、錯(cuò)位相減法、二項(xiàng)式定理