Question

已知y=3cos2x+2

3

sinxcosx+sin2x，x∈R．求：
（1）函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時，函數(shù)的最大值、最小值；
（3）函數(shù)的圖象是y=sinx經(jīng)過怎樣的變化得到的？

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式三項分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時正弦函數(shù)的值域，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值與最小值；
（3）y=sinx圖象向左平移

π

6

個單位，然后橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，再縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變，最后向上平移2個單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+

π

6

）+2．

解答：解：y=3cos²x+2

3

sinxcosx+sin²x
=3×

1+cos2x

2

+

3

sin2x+

1-cos2x

2

=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2，
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
則函數(shù)的最大值為4，最小值為2-

3

；
（3）y=sinx圖象向左平移

π

6

個單位，得到y(tǒng)=sin（x+

π

6

），
橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin（2x+

π

6

），
縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=2sin（2x+

π

6

），
向上平移2個單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+

π

6

）+2．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的圖象變換，靈活運用三角函數(shù)的恒等變換將函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．