【題目】設(shè)f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n為正整數(shù)．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）猜想滿足不等式f（n）＜0的正整數(shù)n的范圍，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

【答案】
（1）解：∵f（n）=（1+ ）n﹣n，

∴f（1）=1，f（2）= ﹣2= ，f（3）= ﹣3= ﹣3=﹣


（2）解：猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，

證明：①當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=﹣ ＜0成立，

②假設(shè)當(dāng)n=k（n≥3，n∈N+）時(shí)猜想正確，即f（k）= ﹣k＜0，

∴ ＜k，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

由于f（k+1）= = （1+ ）＜ （1+ ）

＜k（1+ ）=k+ ＜k+1，

∴ ＜k+1，即f（k+1）= ﹣（k+1）＜0成立，

由①②可知，對(duì)n≥3，f（n）=（n）=（1+ ）n﹣n＜0成立


【解析】（1）由f（n）=（1+ ）n﹣n，可求得f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+ ）n﹣n＜0，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可：①當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=﹣ ＜0成立；②假設(shè)當(dāng)n=k（n≥3，n∈N+）時(shí)猜想正確，即 ﹣k＜0，去證明當(dāng)n=k+1（n≥3，n∈N+）時(shí)，f（k+1）= ﹣（k+1）＜0也成立即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的定義的理解，了解數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐,其中面為的中點(diǎn).

（1）求證：面；

（2）求證：面面；

（3）求四棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= 是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=2．
（1）求實(shí)數(shù)a，b并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性并加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線： 與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為.

(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在中，角的對(duì)邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，函數(shù)y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，若g（a）=1，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A.﹣e
B.
C.
D.e

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P，Q分別為AB，DA上動(dòng)點(diǎn)，且△APQ的周長(zhǎng)為2，設(shè) AP=x，AQ=y．

（1）求x，y之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）判斷∠PCQ的大小是否為定值？并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)△PCQ的面積分別為S，求S的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】有甲、乙兩種商品，經(jīng)銷(xiāo)這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)分別是p萬(wàn)元和q萬(wàn)元．它們與投入資金x萬(wàn)元的關(guān)系是：p= x，q= ．今有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)這兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)這兩種商品的資金分別投入多少時(shí)，能獲取最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案